Sembolik Mantık hakkında bilgi
Çağdaş mantığın ve çağdaş felsefenin kurucusu Alman mantıkçısı Gottlob Frege, "Matematik mantığın uygulama alanıdır" görüşünden hareketle matematiğin, mantığın aksiyomatik sistemi üzerine kurulabileceğini düşünmüştür. Bu düşünceden hareket ederek aritmetiğin temelleri konusundaki felsefi çalışmaları için bir mantık sistemi geliştirmişti.
Ç ağdaş mantığın ve çağdaş felsefenin kurucusu Alman mantıkçısı Gottlob Frege, "Matematik mantığın uygulama alanıdır" görüşünden hareketle matematiğin, mantığın aksiyomatik sistemi üzerine kurulabileceğini düşünmüştür. Bu düşünceden hareket ederek aritmetiğin temelleri konusundaki felsefi çalışmaları için bir mantık sistemi geliştirmişti.
Daha sonra, Frege'nin çalışmalarına dayanarak, Russell ve Whitehead 1910- 1913 yılları arasında Principia Mathematica adını verdikleri eserde matematiği mantığa indirgeyerek formel bir sistem haline getirmeye çalıştılar. Fakat matematiğin formel hale getirilemeyeceğini Gödel 1933'te yayınladığı bir kitabındaki (Über die unentsheidbare Saetze der Principia Mathematica und verwander Systeme) meşhur teoremiyle gösterdi.
Alan Robinson, 1967'de çözülüm teorem ispatlama yöntemini geliştirdi. Bu yöntem 1972'de A. Colmaurer tarafından ilk mantık programlama dilinin (Prolog) geliştirilmesine yol açtı. Bu dil 1975'te D. Warren tarafından “Warren Abstract Machine” (WAM) olarak ugulandı. Kişisel bilgisayarlar üzerinde ilk uygulamalar 1980'lerde ortaya çıktı.
Önermeler Mantığı
Formel sistemler şu elemanlardan meydana gelir: 1 Tanımlanmamış terimler 2 Tanımlar 3 Türetme kuralları 4 Aksiyomlar 5 Teoremler Formel mantığın tanımlanmamış terimleri olarak, basit önerme (P) ve mantıksal bağlar (değil, ve, veya, eğer-ise, eğer ve ancak-ise) gösterilebilir. Tanımlanan terimlere örnek olarak bileşik önerme kavramını gösterilebilir. Aslında yukarıda verilen mantıksal bağlar bir tek mantıksal bağ yardımıyla tanımlanabilir.
Önerme
Aşağıdaki cümleler önermelere örnektir:
Bugün hava güneşlidir. 3 asal sayıdır. Duygu 21 yaşındadır. Mantıksal bağlar kullanarak basit önermelerden başka önermeler kurulabilir, ki bunlara “bileşik önermeler” denir.
Değilleme
Bir önerme “değil” eki ile karşıt ifadeye çevrilebilir; buna değilleme denir.
''Örnek'': “Duygu 21 yaşında değildir.”
Birleşim
İki veya daha fazla önermeden “ve” mantıksal bağını kullanarak bileşik önermeler kurulabilir. Örnek olarak: “Bu gün hava açık ve sıcak” cümlesini verilebilir. Doğal dilde bazen “fakat” bağlacını da kullanıyoruz. ''Örnek'': “Dün hava açık, fakat rüzgarlı idi.”
Ayrılım
İki veya daha fazla basit önermeden “veya” (ya da) mantıksal bağını kullanarak bilesik önermeler kurulabilir.
''Örnek'': “Bugün Aselsan veya Teletaş'tan ziyaretçiler gelecek.”
Şartlı cümle
Aynı şekilde, iki veya daha fazla sayıda önermeden (eğer-ise) bağını kullanarak şartlı önermeler kurulabilir.
''Örnek'': “Eğer yağmur yağıyor ise, hava bulutludur.”
Bazen “eğer-ise” bağı yerine doğal dilde “gerektirir” bağını da kullanabiliyoruz.
''Örnek'': “Yağmur yağıyor olması havanın bulutlu olmasını gerektirir.”
Çift şartlı önermeler
Yine, “eğer ve ancak-ise” bağını kullanarak birden fazla önermeden çift şartlı önermeler kurulabilir. Bu tür önermeler doğal dilde daha az kullanılmasına rağmen, fizik ve matematikte sık sık kullanılmaktadır.
''Örnek'': “Eğer ve ancak çalışanlar ücretlerde aşırı artış talep ederlerse enflasyon düşmez.”
Aynı cümle şu şekilde de ifade edilebilir: “Eğer, çalışanlar ücretlerde aşırı artış talep ederlerse enflasyon düşmez, ve eğer enflasyon düşmezse çalışanlar ücretlerde aşırı artış talep ederler.”
Cebirde olduğu gibi, sembolik veya matematiksel mantıkta da, önermeler yerine önermesel değişkenler kullanılır (P, Q, R, S, T harfleri gibi).
Mantıksal bağlar
Mantıksal bağlar şu sembollerle gösterilir:
\neg: değil \land: ve \lor: veya \to: eğer-ise \leftrightarrow: eğer ancak-ise
Böylece şu ifadeler, önermesel formüller olacaktır:
\neg P, P \land Q, P \lor Q, P \to Q, P \leftrightarrow Q
''Örnek'': "Eğer sendika veya fabrika yöneticileri inada devam ederlerse, grev ancak hükümet bir kararname çıkarır ve fabrikaya polis göndermezse önlenir."
P: Sendika inada devam eder Q: Fabrika yöneticileri inada devam eder R: Grev önlenir S: Hükümet kararname çıkartır T: Hükümet fabrikaya polis göndermez
(P \lor Q) \to (R \leftrightarrow S \land T)
Doğruluk cetvelleri
Mantıkta önermeler doğru ya da yanlış olabilir, fakat hem doğru hem yanlış olamaz. Bir önermeye yüklenen bu “doğru” ve “yanlış” yüklemlerine onun “doğruluk değeri” denir. Buna göre, şimdi şu önermesel formüllerin doğruluk değerlerini irdeleyelim: \neg P, P \land Q, P \lor Q, P \to Q, P \leftrightarrow Q “Değil” sözcüğünün anlamından hareketle, eğer bir P önermesi doğru ise onun değillemesi, yani \neg P yanlıştır, ve bunun tersi. Mesela, P önermesi “Ay dünyanın uydusudur” cümlesi yerine geçiyorsa, bunun değillemesi olan \neg P yanlıştır. Gene, kural olarak iki veya daha fazla önermenin birleşimi, ancak birleşen bütün önermelerin doğru olması halinde doğrudur. Mesela, “3 asal sayıdır ve 2+2=5'tir” yanlış bir bileşik önermedir. Yine kural olarak, ayrık önermelerin doğru olabilmesi için bileşenlerden birinin doğru olması yeterlidir. Ayrık önermeler ancak bunları meydana getiren bileşenlerin hepsinin birden yanlış oldugu halde yanlış sayılır. Bileşik önermeler için doğruluk tabloları şu şekilde verilebilir:
P Q \neg P P \land Q P \lor Q P \to Q P \leftrightarrow Q
D D Y D D D D
D Y Y Y D Y Y
Y D D Y D D Y
Y Y D Y Y D D
''D: doğru, Y: yanlış''
;Eşdeğerlikler:
\neg \neg P = P \neg P \lor Q = P \to Q \neg (P \lor Q) = \neg P \land \neg Q \neg (P \land Q) = \neg P \lor \neg Q
;Karşıtlıklar:
\neg P \times P (P \to Q) \times (P \land \neg Q) (P \lor Q) \times (\neg P \land \neg Q) (P \land Q) \times (\neg P \lor \neg Q)
Mantıksal kavramlar
;Tavtoloji: Bir önermesel formülün (veya bileşik önermenin) doğruluk cetvelindeki son değerlendirme sütunundaki bütün değerler “doğru” çıkıyorsa, bu önermesel formüle “tavtoloji” denir.
;Çelişki: Bir önermesel formülün (veya bileşik önermenin) doğruluk cetvelindeki son değerlendirme sütunundaki bütün değerler “yanlış” çıkıyorsa bu önermesel formüle “çelişki” denir.
;Bazen doğruluk: Bir önermesel formülün (veya bileşik önermenin) doğruluk cetvelindeki son değerlendirme sütunundaki değerlerden bazıları “doğru” bazıları “yanlış” çıkıyorsa bu önermesel formüle “bazen doğru” denir.
;Tutarlılık: Bir bileşik önermeye “ve” ekiyle başka bir önerme eklendiği zaman bir çelişki ortaya çıkmıyorsa, eklenen önerme öncekiyle tutarlıdır denir.
;Geçerlilik: Bir A1, A2, ..., An önerme dizisindeki bütün A’lar doğru olduğu zaman bir B hükmü de doğru oluyorsa B’ye A1, A2, ..., An önermelerinin geçerli sonucudur denir. Geçerlilik şu şekilde gösterilir:
A1, A2, ..., An |= B.
;Mantıksal İçerik: Bir bileşik önermeyi yanlış yapan şartların sayısının bütün şartların sayısına oranı ne kadar büyükse, o önermenin mantıksal içeriği o kadar fazladır. Çelişkinin mantıksal içeriğinden bahsedilemez (çünkü yoktur).
Yüklemler Mantığı
Önermeler mantığının türetim kuralları matematik için yeterli olmadığı gibi gündelik dil için de yeterli değildir. Mesela, klasik mantıkta "Her asal sayı bir doğal sayıdır" ve "3 asal sayıdır" öncüllerinden, "3 doğal sayıdır" sonucunu çıkarabiliyoruz. Fakat bu akıl yürütmenin doğruluğu, önermeler mantığının kuralları çerçevesi içinde kanıtlanamaz. Bunun nedeni de şudur: Önermeler mantığı bileşik önermeler içindeki basit önermeler arasındaki mantıksal bağlara ve basit önermelerin doğruluk değerlerine göre bileşik önermelerin doğruluklarını inceler. Diğer bir deyişle, önermeler mantığı bir önermeyi birçok maksat için yeterli ayrıntıda analiz etmez. İşte, terimler, yüklemler ve niceleyiciler diye isimlendireceğimiz mantıksal kavramlar yardımıyla gündelik dili ve matematiğin dilini büyük ölçüde sembolize edebiliriz. Yüklemler mantığında da aynı matematikte olduğu gibi, sabitler ve değişkenler kullanılır. Biraz önce bahsedilen "terimleri" iki sınıfa ayırabiliriz: Bireysel değişkenler, bireysel sabitler. Bireysel sabitlere örnek olarak birey olduğunu bildiğimiz varlıkları sayabiliriz: “Gökhan”, “Tekir”, “gül” gibi. Bunlar yerine de “insan”, “hayvan”, “bitki” kavramlarının çerçeveleri içinde olmak üzere x, y, z, değişken sembollerini kullanabiliyoruz. Matematikte değişkenler genellikle sayılar veya fonksiyonlar olabilir. Yüklemler mantığında ise bireysel terimler değişken olabildiği gibi, yüklemler de sabit veya değişken olabilir. Yüklemsel sabitlere örnek olarak önermeler içinde yer alan yüklemleri gösterebiliriz: “sayı”, “meyve”, “uydu”, “sert” gibi. Buna göre,
''7 bir asal sayıdır.'' ''Elma bir tür meyvedir.'' ''Miranda, Neptün'ün uydusudur.'' ''Demir sert bir metaldir.''
...cümleleri içinde "7", "elma", "Miranda", "Neptün" ve "demir" bireysel sabitler, “asal sayı, “meyve”, “uydu” ve “sert metal” de yüklemsel sabitlerdir.
Yüklemsel ifadelerde yüklemler yukarıdaki örneklerde görüldüğü gibi bir veya iki terimli (veya argümanlı) olabildiği gibi, daha fazla sayıda argüman da içerebilirler. Mesela: “Beril, Akın ve Şebnem'nin önünde oturuyor” dediğimiz zaman, burada “önünde oturuyor” ifadesini yüklem olarak; Beril, Akın ve Şebnem isimlerini de bireysel sabitler olarak almış oluyoruz. Yüklemsel ifadeler yüklemin aldığı terim sayısına göre şu genel biçimlerde gösterilebilirler: P(a), Q(b,c), R(d,e,f), ... Bu ifadelerde, hemen görülebileceği gibi, bireysel sabitler yerine x, y, z gibi değişkenler koyarsak, P(x), Q(b,y), R(z,e,f) ...gibi değişken terimli yüklemsel ifadeler elde ederiz.
Eşdeğerlik ve karşıtlık
A(x) yüklemsel bir formül olsun. Şu ifadeleri gözönüne alalım:
a) \forall x A(x) b) \exists x A(x) c) \forall x (\neg A(x)) d) \exists x (\neg A(x))
Bunları doğal dile çevirirsek: a) Herşey A yüklemine (özelliğine) sahiptir. b) Bazı şeyler A yüklemine (özelliğine) sahiptir. c) Hiçbir şey A yüklemine (özelliğine) sahip değildir. d) Bazı şeyler A yüklemine (özelliğine) sahip değildir. Burada görüldüğü gibi, d, a'nın karşıtı (değillemesi), c de b'nin karşıtıdır. Şu halde, \exists x A(x) yerine \neg \forall x \neg A(x) kullanabiliriz, çünkü bunlar mantıksal olarak özdeştir, aynı şekilde \forall x A(x) yerine \neg \exists x \neg A(x) ifadesini kullanabiliriz. Yüklemsel ifadelerde değilleme ve niceleyicilerin yeri, anlam bakımından önemlidir. Örneğin: \neg \forall x asal(x), “her sayı asal değildir” anlamına gelirken, \forall x \neg asal(x) ise “hiçbir sayı asal değildir” anlamına gelir.
;Eşdeğerlikler: \forall x P(x) = \neg \exists x \neg P(x) \exists x P(x) = \neg \forall x \neg P(x) \neg \exists x P(x) = \forall x \neg P(x) \neg \forall x P(x) = \exists x \neg P(x) ;Karşıtlıklar: \forall x P(x) \times \exists x \neg P(x) \exists x P(x) \times \forall x \neg P(x) \neg \exists x P(x) \times \exists x P(x) \neg \forall x P(x) \times \forall x P(x)
Çözülüm Teorem İspatlama
Çözülüm teorem ispatlama, mantık teoremlerinin ispatlanması için A. Robinson tarafından geliştirilmiş bir tekniktir. Bu tekniğin esası şudur: Eğer “ve” bağı ile bağlı P1, ..., Pn önermelerinden bir Q önermesi dedüktif olarak çıkarılabiliyorsa, o zaman Q'nun değillemesini bu önermelere “ve” bağı ile kattığımız zaman bir çelişki elde ederiz. Sembollerle gösterecek olursak: P_1 \land, ..., \land P_n \to Q
...çıkarımı geçerli ise, P_1 \land, ..., \land P_n \land \neg Q
...bir çelişkidir. Bu yöntemin kullanılabilmesi için, P1, ..., Pn önermelerinin, eşdeğerlik dönüşümleri kullanılarak “birleşimli normal biçim” denilen bir biçime getirilmesi gerekir. Bu biçim sadece “değil”, “ve” ve “veya” mantıksal bağlarını içerir. ''Örnek 1'':
P -> Q ~P V Q ~P V Q
P P P
------ ------ ~Q
Q Q ------
Bu örnekte P \to Q şartlı önermesi yerine, eşdeğeri \neg P \lor Q konulmuştur ki bu, P \to Q önermesinin normal biçimidir.
''Örnek 2'':
A -> B ~A V B ~A V B
B -> C ~B V C ~B V C
A A A
-------- --------- ~C
C C ---------
Çözülüm teorem ispatlama yöntemi, yüklemler mantığının teorem ispatlama problemlerinde de uygulanmaktadır. Yüklemler mantığında teorem ispatı sırasında bireysel sabitlerin değişkenlerin yerine konulmasına “birleştirme” denilir.
''Örnek 3'':
P(x,y) -> Q(x) ~P(x,y) V Q(x) ~P(a,y) V Q(a)
P(a,y) P(a,y) P(a,y)
-------------- --------------- ~Q(a)
Q(a) Q(a) ---------------
Bulanık Mantık
Bulanık mantık 1960’ların ortalarında Lotfi Zadeh tarafından iki değerli mantık ve olasılık teorisine alternatif olarak geliştirilmiştir. Bulanık mantıkçılara göre iki değerli mantık ve kümeler teorisi daha genel çok değerli bir teorinin özel halidir. Zadeh (1965) bulanık kümeleri ve bulanık mantığı şu şekilde tanımlamaktadır: "Bulanık sistemlerde temel düşünce bulanık mantıkta doğruluk değerleri (veya bulanık kümelerde üyelik değerleri) 0 ile 1 arasında değişen değerlerdir ki burada 0 mutlak yanlış, 1 de mutlak doğru olmaktadır."
Doğal dilde kullandığımız birçok cümlede “az”, “çok”, “orta” gibi kalitatif niceleyiciler kullanıyoruz. Bu tür cümleleri bulanık mantığın gösterimi ile ifadelendirmek daha kolay olmaktadır. Bulanık mantıkta “Ahmet yaşlıdır” ve “Bugün hava sıcaktır” cümlelerindeki “yaşlı” ve “sıcak” ifadelerine iki değerli mantıktaki gibi “doğru” veya” yanlış” yerine 0 ile 1 arasında değer verilebilmektedir.
Bulanık mantığın formel tanımları
X, elemanları x’ler olan bir nesneler kümesi olsun, yani X = ( x ). X’in içinde bir A bulanık kümesi bir üyelik fonksiyonu mA(x) ile karakterize edilir. Bu fonksiyon X içindeki her nesneyi, 0 ile 1 arasındaki bir reel sayıya 0,1 tekabül ettirir. Yukarıdaki örnekte A, yaşlı insanlar kümesi olabilir. Ahmet de X insanlar genel kümesinin bir üyesi olarak yaşlı insanlardan biri olabilir, ki A’daki üyelik derecesine göre üyelik değeri 0,1 reel sayılar aralığında yer alır.
mA(x) değeri 1’e yaklaştığında x’in A içindeki “üyelik derecesi” artar. Bütün x’ler için mA(x) = 0 ise, A boş bir küme olur ve bütün x’ler için mA(x) = mB(x) olduğunda da A=B olur. Bulanık kümelerle ilgili tarifler de şöyledir:
m(karşıt A) = 1 – mA.
Eğer X’in bütün x’leri için mC(x) = MAXmA(x), mB(x) ise, C, A ve B’nin birleşimidir.
Eğer X’in bütün x’leri için mC(x) = MINmA(x), mB(x) ise, C, A ve B’nin arakesitidir.
PARABOL NEDİR?
A. TANIM: a ¹ 0 ve a, b, c Î IR olmak üzere, f : IR ® IR tanımlanan f(x) = ax2 + bx + c biçimindeki fonksiyonlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyonlar denir.
İkinci dereceden fonksiyonun analitik düzlemdeki görüntüsüne parabol denir.
Parabol, düzgün tel parça-sının uçlarından tutularak bükülmesiyle oluşan, yandaki gibi kolları yukarıya doğru ya da aşağıya doğru olan bir eğridir.
B. PARABOLÜN TEPE NOKTASI
f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun tepe noktası
T(r, k) olmak üzere,
r=-b/2a ve k=f( r) =4ac-b2/4a dır.
Ü Parabol x= -b/2a doğrusuna göre simetriktir.
X=-b/2a doğrusu parabolün simetri eksenidir.
y = a(x – r)2 + k fonksiyonunun grafiğinin
tepe noktası T(r, k) dır.
C. GRAFİĞİN EKSENLERİ KESTİĞİ NOKTALAR
Parabolün Ox eksenini kestiği noktalar A ve B, Oy eksenini kestiği nokta C olsun.
ax2 + bx + c = 0 ın kökleri x1 ve x2 ise A(x1, 0), B(x2, 0), C(0, c) dir.
Ü ax2 + bx + c = 0 denkleminde
D = b2 – 4ac > 0 ise, parabol Ox eksenini farklı iki noktada keser. www.matematikcifatih.tr.gg
D = b2 – 4ac < 0 ise, parabol Ox eksenini kesmez.
D = b2 – 4ac = 0 ise, parabol Ox eksenine teğettir.
D. x2 NİN KATSAYISI OLAN a NIN İŞARETİ
1) a < 0 ise, parabolün kolları aşağı doğru olup, f(x) in en büyük değeri tepe noktası-nın ordinatı olan k dır.
a>0 ise parabolün kolları yukarı doğru olup,f(x),in en küçük değeri tepe noktasının ortinatı olan k dır.
a>0 ise parabolün kolları aşağı doğru olup f(fx) in en büyük değeri tepe noktasının ortinatı olan k dır.
2) |a| büyüdükçe kollar daralır. Buna göre, yandaki parabollere göre, f deki x2 nin katsayısı, g deki x2 nin katsayısından büyüktür.
|a| büyüdükçe kollar daralır. Buna göre , yandaki parabollere göre ,f deki x2 nin katsayısı g deki x2 nin katsayısından büyüktür
f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiğini çizmek için,
1) Fonksiyonun tepe noktası bulunur.
2) Fonksiyonun eksenleri kestiği noktalar bulunur.
3) a nın işaretine bakılarak parabolün kollarının yönü belirlenir.
E. GRAFİĞİ VERİLEN PARABOLÜN DENKLEMİNİN YAZILMASI
1. Parabolün Ox Eksenini Kestiği Noktalar Biliniyorsa
y = f(x) = a(x – x1) (x – x2) ... (1) dir.
Burada a değerini bulmak için, parabol üzerindeki herhangi bir noktanın değerleri (1) de yazılır.
2. Parabolün Tepe Noktası Biliniyorsa
y = f(x) = a(x – r)2 + k ... (1) dir.
Burada a değerini bulmak için, parabol üzerindeki herhangi bir noktanın değerleri (1) de yazılır.
3. Parabolün Geçtiği Üç Nokta Biliniyorsa
y1 = ax12 + bx1 + c ... (1)
y2 = ax22 + bx2 + c ... (2)
y3 = ax32 + bx3 + c ... (3)
Bu üç denklemi ortak çözerek a, b, c yi buluruz.
F. PARABOL İLE DOĞRUNUN DÜZLEMDEKİ DURUMU
y = f(x) = ax2 + bx + c parabolü ile y = g(x) = mx + n doğrusunu ortak çözelim.
f(x) = g(x)
ax2 + bx + c = mx + n
ax2 + (b – m)x + c – n = 0 ... (*)
(*) denkleminin kökleri (varsa) doğru ile parabolün kesiştiği noktaların apsisleridir.
Buna göre, (*) denkleminde;
D > 0 ise, parabol doğruyu farklı iki noktada keser.
D< 0 ise, parabol ile doğru kesişmez.
D = 0 ise, parabol doğruya teğettir.
Ü y = ax2 + bx + c parabolü ile y = dx2 + ex + f parabolünün düzlemdeki durumu incelenirken yukarıdakine benzer biçimde işlemler yapılır.
Aritmetiğin Temel Teoremi hakkında bilgi
H er doğal sayının sonlu sayıda asal sayının çarpımı olarak yazılabileceğini ifade eden teorem.
Matematiğin temelleri olarak bilinen matematik dalı matematiğin tümü için geçerli olan en temel kavramları ve mantıksal yapıları inceler. Sayı, küme, fonksiyon, matmatiksel tanıt, matematiksel tanım, matematiksel aksiyom, algoritma vb. gibi kavramlar Matematiksel mantık, Aksiyomatik Küme Teorisi, Tanıtlama Teorisi, Model Teorisi, Hesaplama teorisi, Kategori Teorisi gibi yine matematiğim temelleri olarak anılan alanlarda incelenir. Bununla birlikte matematiğin temellerinin araştırılması matematik felsefesinin ana konularından biridir. Bu daldaki can alıcı soru matematiksel önermelerin hangi nihai esaslara göre "doğru" ya da "gerçek" kabul edilebileceğidir.
Geçerli baskın matematiksel paradigma aksiyomatik küme kuramı ve formel mantık üzerine kurulmuştur. Günümüzde neredeyse bütün matematik teoremleri küme kuramının teoremleri şeklinde ifade edilebilmektedir. Bu bakış açısına göre matematiksel bir önermenin doğruluğu (gerçekliği) önermenin formel mantık yoluyla küme kuramının aksiyomlarından türetilebildiği iddiasından başka bir şey değildir.
Bununla birlikte bu formel yaklaşım bazı konuları aydınlatmakta yeterisz kalır: Neden kullandığımız aksiyomlar yerine başka aksiyomlar kullanmayalım? Neden kullandığımız mantık kuralları yerine başka mantık kuralları kullanmayalım? Neden "doğru" matematiksel önermeler (örneğin aritmetik yasaları) fiziksel dünyada doğruymuş gibi görünür? Bu sorunsal Eugene Wigner tarafından ( 1960) "The unreasonable effectiveness of mathematics in the physical sciences" (Matematiğin doğa bilimlerindeki anlaşılmaz etkililiği) adlı çalışmasında ayrıntılı olarak işlenmiştir.
Yukarıda belirtilen formel gerçeklik nosyonunun hiçbir manası da olmayabilir. Başka bir deyişle ''tüm'' önermelerin, hatta paradoksların, küme kuramı aksiyomlarından türetilmesi olanaklı olabilir. Bunun ötesinde Gödel'in ikinci teoreminin sonucu olarak bunun böyle olmadığından hiçbir zaman emin olamayız.
Matematiksel gerçekçilikte ( Platonizm olarak da bilinir), insanlardan bağımsız olan bir matematiksel nesneler dünyasının var olduğu öne sürülür. Matematiksel nesnelere ilişkin doğrular insanlar tarafından ''keşfedilir''. Bu görüşe göre doğanın yasaları ve matematiğim yasaları benzer bir statüdedir ve matematik yasaların doğadaki etkililiğinin mantıksız olduğu savı geçerliliğini yitirir. Aksiyomlarımız değil, matematiksel nesnelerin elle tutulabilir gerçek dünyası matematiğin temellerini oluşturur. Bu noktada doğal olarak beliren soru, (Bu matematiksel dünyaya nasıl erişlebilir?) sorusudur.
Matematik felsefesinde bazı modern kuramlar, özgün anlamıyla, ''temellerin'' var olduğunu reddeder. Bazıları matematiksel uygulama üzerinde yoğunlaşır ve matematikçilerin bir sosyal grup olarak somut çalışmalarını betimlemeyi ve çözümlemeyi amaçlar. Yine başkaları, matematiğin 'gerçek dünyaya' uygulandığında güvenilirliği konusunda insanın bilişseliğine yoğunlaşarak matematiği bilişsel bilim olarak oluşturmaya çalışır. Bu kuramlarda ''temeller'' yalnızca insan düşüncesinde bulunur ve 'nesnel' dış yapıda yoktur. Bu konu hala çözüme kavuşturulamamıştır